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F. Klein, Geometrisches liber "Wurzelrealitat.

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Wir erlautern ferner, in gleiebem Sinne, den Budan-Fourier'scben Satz. Es bandelt sich bei demselben allgemein u m die Zahl der reellen Wurzeln von f (z) = o, welche zwischen zwei beliebig vorgegebenen Grenzen, x und y (x < y) liegen. M a n bildet die beiden Functionsreihen: I f(x), f'(x), f"(x) und 1 } l f(y), f'(y), f"(y), bestimmt zuerst die Zahl Y(x) der Zeichenwechsel, welche die erstere Reihe darbietet, ferner die Zahl V ( y ) der Zeichenwechsel der zweiten Reihe, und hat dann in Y ( x ) — Y (y) eine Zahl, welche von der Zahl der zwischen x und y gelegenen reellen Wurzeln von f (z) — o hochstens u m ein positives Vielfaches von 2 abweicht. Wieder libersetzen wir diese Regel in eine geometrische Figur. Indem wir ganz ahnlich verfahren, wie vorhin, ergibt sich die folgende Feldereinteilung:

Fig. 6. Ein Yergieich mit Fig. 3 bestatigt darauf die Richtigkeit- des Bndan-Fourier'schen Satzes: iiberall da, w o Fig. 3 und Fig. 6 den Punkten der Ebene verschiedene Zahlen beilegen, i f die sc Zahl der Fig. 6 u m ein positives Yielfaches von 2 grosser. Aber wir fragen angesichts unserer Figuren nicht nur nach der Richtigkeit, sondern auch nach der Zweckmassigkeit des Budan-Fourier'schen Satzes. U n d da k o m m e n wir zu einem Resultate, welches bei einem so elementaren Gegenstande iiberraschen muss und eben darum geeignet sein dlirfte, die geometrische Betrachtungsweise, fiir die wir hier eintreten, nicht nur als eine beilaufige Eiiauterung, sondern als eine notwendige Erganzung der gewohnlich gegebenen Entwickelungen erscheinen zu lassen: Figur (6) mit ihren, vier verschiedenen geraden Linien angeMrigen Begremungs-