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F. Klein, Geometrisokes iiber Wurzelrealitat.

Wurseln > x besitzt, als Zeichenwechsel in dieser Functionsreihe vorhanden sind, and dass die richtige Zahl der Wurzeln von der durch die Zeichenwechsel gegebenen Zahl immer nur u m e m Multiplum von 2 verschieden sein hann. Zwecks Ubersetzung der Kegel in die geometrisehe Anscliauung warden wir vor alien Dingen die drei geraden Linien construiren, welche in der Ebene (A, B ) durch Nuilsetzen der drei Ausdriicke f(x), f'(x), f" (x) vorgestellt werclen. Hier gibt f " (x) = o die unendlich ferae Gerade und k o m m t also fur die Zeichnung in WegfaJl. V (x) = o gibt die verticale Linie A = — x , d. h. den durch den Punkt x der Parabel laufenden Durchmesser derselben. Endlich f (x) = o, wie wir von fruher wissen, die z u m Punkte x gehorige Parabeltangente. Ein jecles der yon den genannten Geraden umgrenzten Gebiete der Ebene bietet bestimmte Yorzeichen von f (x), f' (x), f" (x) dar. N u n k o m m t es uns aber nicht auf diese Yorzeichen, sondern nur auf die Zahl der Zeichenwechsel an, welche die Eeihe f(x), f (x), f"(x) darbietet. "Wir markiren dieselbe fur die verschiedenen Teile der Ebene und erhalten so schliesslich die folgende Pigur, wrelche ich die Cartesische Pigur (x, oo) nennen darf:

Fig. 5. Wir verstehen die Cartesische Kegel in geometrischer Porm, indem wir diese neue Pigur mit Fig. 4 (der „richtigena Pigur [x, oo]) vergleichen. U n d dabei bestatigen wir nicht nur die Cartesische Kegel, sondern erkennen auch ihre Yorzuglichkeit. In der That sieht m a n , dass m a n die „richtige" Figur vermoge einer geradlinigen Feldereinteilung, an der (unter Einrechnung der unendlich fernen Geraden) drei gerade Linien participiren, in der durch den Cartesischen Satz vorgesehenen Weise unmbglich lesser approximiren Jcann, als dies durch die Cartesische Figur geschieht.