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F. Klein, Geometrisches uber Wnrzelrealitat.

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aber uneigentliehen Secanten, welche unsere Normcurve je in zwei conjtigirt imaginaren Punkten treffen (and die der Schnitt zweier conjugirt imaginarer Kegel (10) sind). Daher lasst sich der an Gleichung (10) anknupfencle Satz dahin aussprechen: dass die Gleichung f = o eine oder drei reelle Wurzeln haben loird, jenachdem durcli den R a u m p u n k t (A, B, C) eine eigentliche oder eine uneigentliche Secante der Normcurve dritter Ordnung geht. U n d in dieser F o r m ist der Satz den Geometern ohne weiteres einleuchtend. D e n n die Normcurve dritter Ordnung projicirt sich v o m Punkte (A, B, C) aus im ersteren Falle als ebene Curve dritter Ordnung mit eigentlichem Doppelpunkte, im zweiten Falle als solche mit isolirtem Punkte, unci es ist wohlbekannt, dass eine Curve der ersteren Art nur einen, eine Curve der zweiten Art drei reelle Wendepunkte besitzt. Ich habe diese Betrachtung liber die Kegel zweiten Grades, welche von den Punkten der Normcurve dritter Ordnung auslaufen, u m so lieber gegeben, als ihre Besprechung ohnehin unerlasslich ist, w e n n m a n die Zahl der reellen Wurzeln von f = o durch die sogenannte Newton9$d\s Kegel abschatzen will. Ich denke dabei an jenes approximirende Kriterium, welches ursprlinglich in Newton's Arithmetica universalis gegeben worden ist, aber erst 1865 von Sylvester bewiesen u n d zugleich nach verschiedenen Kichtungen erweitert wurde*). In ihrer einfachsten Gestalt, die wir hier allein in Betracht ziehen, lautet diese Regel dahin: dass unsere Gleichung (1) mindestens so viele imagindre W u r zeln besitzt, als die Beihe der qiiadratischen AusdrucJce

(11)

1, A2—B, B2—AC,

N*

Zeichenwechsel darbietet. Im Falle der Gleichungen dritten Grades (5) haben wir also sicher zwei imaginare Wurzeln, wenn von den beiden Ausdrucken A2—B, B2—AC *) Vgl. insbesondere Transactions of the E. Dublin Academy, t. 24, sowie Philosophical Magazine, 4 ser., t. 31. — Auch diese Regel fehlt in vielen Lehrbuchern; Ausfiihrlicheres dariiber gibt u. a. Petersen in seiner „Theorie der algebraischen G-leichungenu.