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F. Klein, Geometrisch.es liber Wurzelrealitat.

auch nur einer negativ ist. Hier bemerke m a n nun, dass nach Gleichung (10) (12) A 2 — B = o, B 8 — A C = o die Gleichungen cler beiden Projectionskegel sind, die von den Punkten X = oo, bez. X = o der Normcurve dritter Ordnung nach dieser Curve hinlaufen. Der geometrische Sinn des Newton'schen Kriteriums ist dementsprechend der, dass bei der Gleichung dritten Grades sicker zivei imagindre Wurzeln vorhanden sind, sobald der B a u m p u n k t (A, B, C) im I n n e m auch nur eines der beiden genannten Kegel liegt. Die geometrische Anschauung bestatigt nicht nur, sondern vervollstandigt diese Kegel und bringt sie dadurch rait d e m aus der Bezoutiante abgeleiteten Kriterium in klaren Zusammenhang. W i r wissen bereits, dass keiner der Kegel (10) in das Baumstlick eindringt, welches den cubischen Gleichungen mit 3 reellen Wurzeln entspricht; wir iugen jetzt hinzu, was uns ein Blick auf die Gestalt der Curve dritter Ordnung lehrt, dass dieses Baumstuek ausserhalb der samtlichen Kegel (10) liegt. W i r wissen anclererseits, dass das Kaumstuck, welches den cubischen Gleichungen mit nur einer reellen Wurzel entspricht. von den reellen Kegeln (10) durchw e g zwiefach ausgefiillt wircl, und hierin liegt, dass jeder Punkt (A, B, C) im Innern dieses Baumstlickes jedenfalls auch im I n n e m einer unendlichen Zahl von Kegeln (10) liegt. W i r werden also folgenden genauen Satz aufstellen: dass die cubische Gleichung dann unci nur dann zivei imagindre Wurzeln besitzt, wenn die Bezoutiante (10) fur irgendivelche reelle Werte von tn tA negativ . ivird. U n d von diesem Satze ist dann die Newton'sche EegeJ ein blosses Corollar. So viel iiber die alJgemeine Abzahlung der reellen A¥urzeln. W i r wenden uns jetzt zur Abzahlung der Wurzeln in einem Intervalle von x bis y (x < y). A u c h hier werde ich mich auf die elementarsten Erlauterungen beschranken. Insbesondere will ich der Kiirze halber die exacten Abzahlungsmethoden ganz bei Seite lassen und unter den approximirenden Kriterien nur diejenigen betrachten, bei denen lineare Punctionen der Coefficienten zu Grunde liegen, also den Cartesischen Satz, das Theorem iron