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F. Klein, Geometrisches iiber Wurzelrealitat.

handelt es sich nur noch clarum, die „Tragheit" der so gewonnenen quadratischen F o r m von (n—1) Yeranderlichen zu constatiren, d. h. zuzusehen, wie viele positive bez. negative Yorzeichen hervortreten, w e n n m a n es unternimmt, die F o r m B durch reelle lineare Substitution der t1? t2, . . . ta_x in ein Aggregat blosser Quadrate zu verwandeln. Die Eegel wird kurzw'eg die, class f = o genau so viele Paare imaginarer Wurzeln besitst, als bei der genannten 'Reduction von B negative Quadrate auftreten. Die principielle Einfachheit dieser Aussage aber ruht darin, dass B nicht nur von den t, sondern auch von den Coefficienten von f in quadratischer Weise abhangt (so class also bei unserer geometrischen Interpretation B = o eine von den Parametern t1? . . . tn_i abhangige Schaar von Flachen zweiten Grades gibt). Ftir die quadratische Gleichung (3) liefert die so formulirte Eegel naturlich niclits Neues. Gehen wir also gleich zur cubischen Gleichung (5). Hier wird die Bezoutiante: (9) ( A 2 - B ) tx2 + ( A B — C ) t, t2 + ( B 2 - A C ) t22, ist also (wie m a n erwarten konnte), von einem negativen Zahlenfaktor abgesehen, mit der sog. Hesse'schm F o r m von f(z17 z2) identisch. W i r werden wiinsclien, uns im geometrischen Bilde darliber klar zu werden, weshalb die „Tragheitu von (9) in der angegebenen "Weise mit der Eealitat der Wurzeln von f = o zusammenhangt, oder wenigstens, weshalb i = o drei oder eine reelle Wurzel liefert, jenachdem die Gleichung (10) ( A 2 — B ) tt2 + ( A B — C ) tt t2 + ( B 2 — A C ) t22 = o fur ti : t2 null oder zwei reelle Wurzeln ergibt. Z u clem Zwecke fragen wir nach der geometrischen Bedeutung der Gleichung (10) bei stehenden tn t2 und finden, dass dieselbe den Kegel zweiten Grades vorstellt, der sich von d e m Punkte X = Vt2 der Normcurve nach den anderen Punkten der Normcurve hin erstreckt. Unsere cubische Gleichung soil also 3 oder 1 reelle Wurzel nab en, jenachdem durch den Eaumpunkt (A, B, C), 0 oder 2 reelle Projectionskegel dieser Art hinclurchgehen. N u n haben zwei Kegel (10) ausser der Normcurve dritter Ordnung selbst immer noch die Yerbindungsgerade ihrer Spitzen gemein. Sind die Kegel reell, so ist diese Gerade ebenfalls reell und damit eine eigentliche Secante der Normcurve, im Gegensatz zu den gleichfalls reellen