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F. Klein, Geometrisches iiber Wurzelrealitat.

imaginare Tangenten an die Parabel gehen. Angenscheinlich zerfal.lt mit Eiicksicht hierauf die Ebene in zwei durch die Parabel getrennte Teile; ich habe dieselben in der nebenstehenclen Pigur durch die Ziffern 2 unci 0 unterschieden. Die durch die Parabel vorgestellte Normcurve ist hier eben selbst die Discriminanteimiannigfaltigkeit, und Fig. 2. unsere Pigur also ein Gegenbilc! clafiir, class die quadratische Gleichung (3) zwei odor null reelle Wurzeln hat, jenachclem die Discriminante A 2 — B positiv ocler negativ ist. W i r gehen zur cubischen Gleichung (5) z3 + 3 Az'2 + 3 B z + C = o. Die Baumconstructionen, welche hier auszufuhren sincl, lassen sich nicht mehr kurz durch ebene Piguren erlautern, unci ich muss den Leser bitten, falls anclers er die Angaben, die ich fernerhin iiber cubische Gleichungen zu machen habe, vollig in sich aufnehmen will, sich selbst geeignete raumliche Model!e zu verfertigen. W i r liaben da erstlicli als Nornicurve die Rcmmcurve dritter Ordnung (6) A = — X, B = X\ C = — X3, claim als Discriininantenmannigfaltigkeit die zu dieser Eauincurve gehorige developpable Placlie. Durch selbige wirci der Eauni in 2 Gebiete zerlegt, entsprecheiicl der Mogiichkeit, class die Gleichung (5) clrei ocler eine reelle Wurzel fur z ergeben kaim. W i r werclen cliese Gebiete clenientsprechencl mit den Ziffern 3 unci 1 bezeichnen. Y o n den Punkten des Gebietes 3 aus laufen i m m e r clrei reelle Osculationsebenen an die Curve, von den Punkten cles Gebietes 1 aus nur eine. Ich wencle mich nun gieich zu den Kriterien fur die A b zahlung cler reellen Wurzeln einer gegebenen Gleichung. Dabei Avercle ich gelegentlich etwas aushoien mtissen, insofern cliese Kriterien in cler Mehrzahl cler Lehrbticher, wie ich schon ancleutete, nur unvollstanclig mitgeteilt werclen. Ich unterscheicle in erster Linie zwischen solclien Kriterien, welche die Gesamtzahl cler reellen Wurzeln betreffen, unci den ancleren, die sich auf die reellen Wurzeln in einem gegebenen IntervaMe beziehen. Andererseits trenne ich zwischen gencmen Kriterien unci solclien, welche