Repository: UIHistories Project: Mathematical Model Catalog (1892 - German) [PAGE 190]

EXTRACTED TEXT FROM PAGE:

I. Abteilung. invariante Bestimmung der Realitat der Wurzeln einer G-leichung 5. Grades gegeben unci dieselbe in ein geometrisclies Gewand gekleidet, welches (lurch das Modell veranschaulicht wird. Er nimmt drei Invarianten der Gleichung J, D und L von cler 4., 8. und 12. Ordnung. D insbesondere ist die Discriminante. Er setzt G =.JK4 + 8 LK3 — 2 J2LK2 — 72 JL2K — 432 L3 + J3L2; w o 128 K = J2 — D ist. G ist also von der 9. Ordnung in den J, D, L. N i m m t m a n cliese oder ihnen proportionale Grossen x, y, z ais rechtwinkelige Coordinaten, so ist G = o die Gleichung einer Flache 9. Ordnung, welche im Modell reprasentirt ist. Die Coordinaten der Punkte auf der Flache G = o lassen sich rational durch zwrei Parameter ausdriicken. Als den einen kann m a n J wahlen, der anclere heisse cp. Dann hat m a n ^ (cp + 2)2 (cp — 8) ^ ± J3 — cp2 (cp -f-1) ' ' 256 cp3(cp + l)Der Wert c = — 2 gibt D = o, J3 = 2048 L. Aber D wird unendlich p klein zweiter Ordnung. Die Ebene D = o, welche die Discriminantenebene heissen mag, beriihrt die Flache also langs einer cubischen Parabel. Fiir c = co erhalt m a n L = o, D = J2, eine Parabel in der Ebene p L = o. Diese ist Cuspidalcurve der Flache. Hire Schnitte geben Spitzen zweiter Art. Encllich gibt cp = fur welchen Wert -—- und -— verse Irwinto 4 dep dep den, eine zweite Cuspidalcurve mit den Gleichungen L—— — T3 D— — T2 Jhre Schnitte sind gewohnliche Spitzen. Diese beiden Curven, welche der Flaohe ihren Charakter geben, bertihren im i\.nfangspunkt cler Coordinaten einaDder, die Axe der J ist gemeinschaftliche Tangente. Im Modell ist die Axe der L vertical, positiv abwarts, die der J die horizontale Tangente der Cuspidalcurven im Mittelpunkt. Die Axe der D, welche ganz in der Flache liegt, ist durch eine rote Linie markirt. Die Discriminantenebene ist durch ein lose aufgesetztes Stiick Carton vertreten, auf welchem die Axe der J und L verzeichnet ist Die schwarz markirte Curve ist der, clem in Sylvester's Abhandlung abgebildeten Schnitte J = 1 congruente Schnitt J = — 1. Im Modell kann m a n sich auch daclurch orientiren, dass fiir den pfeilerartig emporsteigenclen Teil J, D, L die Zeichen \ haben. Es ist auch zu bemerken, dass mit einem Zeichenwechsel von J und L auch G sein Zeichen wechselt, d. h. die Flache G = o fallt nach einer halben Umdrehung u m die D-Axe mit Hirer urspriinglichon I^age zusammen unci teilt claher den R a u m in zwei congruente Teile.