Repository: UIHistories Project: Mathematical Model Catalog (1892 - German) [PAGE 188]

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I. Abteilung. Weise verschaffen. Wenn die Gleichung G'4 = o die dreifacke Wurzel X, die einfache Wurzel \i besitzt, so miissen die Beziehungen bestehen: 3X + i l - — 4a X2 + Xjx 2b X3 + 3X2jx = — 4c X3JX =: 1 oder nacli Elimination von jj, : 1) 3X + A + 4a = o 2) X2 + ~ — 2b - o 3) X3 + ~ + 4c = o Aus 2) folgt: X = ± ]/b ±Y'bcr^~i Die vier Ausdriicke, welclie man erhalt, wenn man diese Werte von X •etwa in Gleichung 3 einfiihrt, miissen identisch verschwiiaden. Also auch das Product dieser Ausdriicke, namlich o = II (X4-fC c X+3) = II [(+V b ± "Kb2—l)4 -j-4c(±y b ± Kb2—1) + 3] Dies liefert den projicirenden Cylinder: P = (4 c2 — b (b2 + 3))2 — (b2 — l)3 = o, welcher sehr leicht zu discutiren ist, da diese Gleichung sich nach c bequem auflosen lasst. Sie stelltf%wei, beziiglich c symmetriscli gelegene Schnabelspitzen dar. U m nun zum Ausdruck der Doppelcurve zu gelangen, hat man folgende Uberlegung zu machen. Soil die Gleichung G'4 = o, zwei Paar Doppelwurzeln besitzen, so muss, weil das constante Glied = 1 1st, sobald X die eine Doppelwurzel ist, die audere entweder-)--- oder ^ selu. Im ersten Falle ist die Gleichung G'4 = o eine reciproke. Dann ist aber a = c, d. h.7 die Doppelcurve der Flache liegt in der Ebene a — c = o. Die Discriminante einer reciproken Gleichung vom Grade 2 n aber lasst sich, wie ich an anderer Stelle gezeigt habe, in sehr einfacher Weise durch die Discriminante ihrer Eesolvente c ausdriicken. p Sind namlich £i die Wurzeln der Gleichung G211, r^ die Wurzeln ihrer Eesolvente c n, so hat man : p n (Sp - V2 = 16u (n~^ ? (+2) ? (- ^ {n (Yi *-^ )2} \ wo c (( 2), 9 (— 2) nichts anderes als die Substitutionsresultate von p -+ 2 in die Eesolvente c n sind. p Diesen Satz beniitzend, erhalt man als Schuitt der Ebene a = c, in welcher die Doppelcurve liegen muss, mit der Flache A4 sofort: 1612 (4a2 + 2 — 6b)2. (8a -f 6b •+ 2) (— 8a + 6b -f 2) = 0.