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Serie X X X .

49 ^ Die Flache ist reell abwickelbar auf das Rotationsparaboloid #2+j/2 = — - z . Jede Halfte entspricht einem Paraboloid. Modell Nr. 7. Die Koordinaten dieser Flache werden durch die Gleichungen dargestellt: x = [(t- 1)2 - /?2]I/2 (2 + t + i - /?2), / y = (/?2-/2)3/2> Z = 4p*. Sie unterscheidet sich in algebraischer Hinsicht nicht wesentlich von der vorigen Flache; denn m a n erhalt sie aus dieser durch die Transformation X2 = iy\, y2 = — iX\ t Z 2 = Z i f wobei Xi, y\, Z\ die Koordinaten eines Punktes der ersten und X2, J^2, Z% die eines Punktes der zweiten Flache bezeichnen. (Siehe wegen der Einzelheiten die Originalabhandlungen: D a r b o u x , G., Bulletin des Sciences mathematiques, 2. serie, tome XXIX, Avril 1905 und Comptes rendus de l'Academie des Sciences, tome C X L , 13. Mars 1905, p. 697.) Eine Erlauterung in franzosischer Sprache mit den ausgeflihrten Rechnungen wird beigefiigt. Modell N r . 8. Die gekrummte Oberflache des Modells ist die geometrische Darstellung der Function*) X 2 — y* z = xy • , n in einem raumlichen rechtwinkligen Koordinatensystem. Das Modell ist seitlich abgegrenzt durch die vier Ebenen X = ± 9 c m und y = ^ z g c m . Die dargestellte Flache enthalt insgesamt vier gerade Linien, namlich die mit griiner Farbe eingetragenen X- und J/-Axen, sowie die mit roter Farbe eingetragenen Halbierungslinien ihrer Winkel. (Als positive Richtung der Z-Axq ist die Richtung nach oben, auBerhalb des Modells, gewahlt, und von hier aus gesehen soil die positive Richtung der #-Axe bei einer Drehung u m 900 im Sinne des Uhrzeigers in die positive Richtung der y-Axe iibergehen.) M a n erkennt a m Modell leicht die verschiedenen Symmetrieeigenschaften, welche die Flache besitzt. Anscheinend weist dieselbe keine Singularitaten auf, sie hat in jedem im Endlichen gelegenen Punkt eine bestimmte Tangentialebene, oder m . a. W . die Function z besitzt fur jede endliche Stelle (x, y ) bestimmte partielle Differentialquotienten nach X *) Vgl. Peano, H., Calcolo differenciale etc., Torino, 1884, S. 174 u. Stolz, O., Grundzuge der Differential- und Integralrechnung, I. Teil, Leipzig 1893, S. 150.