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Serie X X X .

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resp. y, und diese sind auch uberall stetig. Jede Noimalebene der Flache, speciell auch jede Ebene durch die z-Axe, schneidet die Flache in einer im Endiichen singularitatenfreien Curve. Fiir jede v o m Nullpunkt (0,0) verschiedene im Endiichen liegende Stelle (x, y ) besitzt die Function z ferner auch die samtlichen paitiellen Differentialquotienten jeder beliebigen Ordnung, und es ist der Wert eines gemischten Differentialquotienten stets unabhangig von der Reihenfolge der DifTerentiationen nach X resp. y. Insd2z d^z besondere gilt also immer die Gleichung — — — = - — — fiir eine Stelle

dxdy

dydx

(x, y), welche v o m Nullpunkt verschieden ist. Diese Gleichung verliert dagegen ihre Gultigkeit fiir den Nullpunkt X — 0, y = 0 . U m diese Tatsache zu illustrieren, sind auf der Flache die Schnittcurven mit einer Anzahl Parallelebenen einmal zur#, Z-Ebene, sowie zur y, z-Ebene eingetragen. Denkt m a n sich an die Schnittcurve einer der Parallelebenen zur X, Z-Ebene in d e m Punkte, w o die Curve die y-Axe trifft, die Tangente gezogen, nimmt als positive Richtung der letzteren diejenige, in welcher X wachst, und bezeichnet mit v den Winkel, welchen die positive X-Axe mit der positiven Richtung der Tangente (bei einer Drehung der -\-X-Axe gegen die +Z-Axe) einschliesst, so i t fiir die Ebenen y = — 0 0 , 0, s - - oc der Winkel v resp. = —, 0, — — . Wahrend der Abstand der Par\ allelebene zur X, Z-Ebene von — 0 0 iiber 0 nach -f~oo zunimmt, nimmt v gleichzeitig von -f~77uber 0 nach — — ab. Die sorgfaltige Betrachtung U L i des Modells zeigt schon, dass v mit wachsendem y zugleich bestandig und gleichmassig abnimmt. Analytisch ist fiir die Curve in der Ebene (Sz\ y = k o n s t . tgv —\-—-1 , und m a n erkennt daher a m Modell, dass \oy'x=0 V2. stets negativ, auch von Null verschieden ist. Die Berech\dxdy *Z\ ,, . „,./ ^ Z \ _ nung liefert l-p-l = — y, und hieraus folgt 1^1 = —- 1. Die \oX/x^=o \oXdy /x = o y y (dz\ Betrachtung der Parallelcurven X = konst. zeigt ebenso, dass It—I niit \Oy / y = 0 von — 0 0 iiber 0 nach -j-oo wachsendem X gleichzeitig bestandig und gleichmassig wachst, so dass 11 > 0 ist. Die Rechnung liefeit \ OyO X Iy = o analog wie vorhin: *Z\ . ( $2Z\ \#yJy=o~"'t """ \dj $X

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