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Serie X X X .

Urn die Flachen, besonders ihren Charakter als Doppelflachen, bequem iibersehen zu konnen, sind die Modelle einmal mit drei verschiedenen Farben zweckmassig angelegt, die den Zusammenhang der einzelnen Flachenteile leicht erkennen lassen. Sodann ist auch auf jedem Modelle eine solche Curve eingezeichnet, der entlang gehend der Spazierganger auf die andere Seite der Flache kommt. Langs der einzelnen Curven sind normal zu ihnen noch Pfeile hinzugefiigt, deren Richtung sich dann nach Durchlaufung der Curven umkehrt. D e n Modellen wird eine A b h a n d l u n g beigegeben, aus der alles Nahere ersichtlich ist. Auch sind sie ausflihrlich behandelt in den Mathem. Annalen, Bd. LVII, pg. 173 ff. Modell N r . 3. Urn das Verhalten einer krummen Flache in der Nahe eines regularen Punktes zu ermitteln, bedient m a n sich bekanntlich der Darstellung: z = i(r0x»+t0y9)+-t («xB + 3/?x2y + 3rxya + By3)+... Bei elliptischen und hyperbolischen Punkten ergiebt sich daraus eine wirkliche Naherung, wenn m a n sich auf die Glieder zweiter Ordnung beschrankt, also die Flache durch das. osculierende Paraboloid ersetzt. Anders steht.es. bei parabolischen P u n k t e n , w o also etwa r0 = 0 ist. Hier sind auch die Glieder hoherer als der zweiten Ordnung von massgebendem Einfluss, und es ist daher unmoglich, allgemeine Regeln iiber das Verhalten der Flache in der Nahe eines solchen Punktes aufzustellen. Ein Fall von grosser Allgemeinheit ergiebt sich, wenn m a n a als von Null verschieden annimmt. Alsdann lasst sich zeigen, dass die Flache dritter Ordnung: z=it0y2'+iax8 eine wirkliche Annaherung liefert. Diese Flache ist unter der Annahme: t0 r=0,5, « = — 0,3, bei der ihre charakteristischen Eigenschaften deutlich hervortreten, in d e m vorliegenden Modell dargestellt worden. Eine kurze Abhandlung von Professor P. Stackel wird beigefiigt. Modell N r . 4. Eine Mannigfaltigkeit von oo2 Geraden heisst eine Strahlencongruenz. Ein bestimmter Strahl derselben heisse S] die Grenzlagen derFusspunkte der kiirzesten Abstande zwischen^und seinen Nachbarstrahlen fiillen auf s im Allgemeinen eine endliche Strecke, deren Endpunkte G r e n z p u n k t e heissen. Der geometrische Ort der Grenzpunkte aller Strahlen heisst Grenzflache der Congruenz. Diese ist erst fur sehr wenige Congruenzen explicite bekannt namentlich noch nicht fiir die einfachsten