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Serie X X X .

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fernen Elemente Giiltigkeit behalten. M a n unterscheidet dementsprechend die functionentheoretische und die projective Auffassung von der Ebene. Bei beiden denkt m a n sich die Ebene als unendlich grosse, geschlossene singularitatenfreie Flache und sucht sie fur die Vorstellung durch die entsprechende endliche Flache zu ersetzen. Der functionentheoretischen Ebene schreibt man, wie hinlanglich bekannt, nur einen unendlich fernen Punkt zu und findet daher leicht als ihr ganz im Endlichen gelegenes singularitatenfreies Abbild die Kugel. Als unendlich femes Element der Ebene in der projectiven Geometrie dagegen sieht m a n die „unendlich feme Gerade" an. Durch hier nicht zu erorternde Tatsachen sieht m a n sich gezwungen, die Ebene als einseitige Flache aufzufassen, d. h. als eine Flache, auf der ein ruhig seinen W e g verfolgender Spazierganger so an seinen Ausgangsort zuriickkommen kann, dass er auf der anderen Seite der Flache steht, dass er also seinem a m Ausgangsorte zuriickgebliebenen Freunde die Fiisse zukehrt. Im besonderen muss m a n noch annehmen, dass der Spazierganger, wenn er erst einmal seinen W e g in der genannten Weise zu seinem Ausgangsort zuruckgefunden hat, keinen neuen derartigen W e g finden kann, auf d e m er nicht den ersten eine ungerade Anzahl mal, also mindestens einmal, schnitte. Die beiden M o d e l l e unserer Serie stellen n u n im E n d lichen geschlossene singularitatenfreie F l a c h e n dar, die diesen A n n a h m e n entsprechen, u n d also e b e n s o ein Abbild der projectiven E b e n e bilden, wie die K u g e l fiir die functionentheoretische E b e n e . Die Compliciertheit der Flachen ist durch den eigentiimlichen Charakter der Doppelkurve bestimmt, die so beschaffen sein muss, dass der ihr folgende Spazierganger erst nach viermaliger Durchlaufung der Curve in seiner urspriinglichen Stellung an seinen Ausgangspunkt zurlickkehrt. Die beiden Flachen sind in ihrem Verhaltnis zur projectiven Ebene nach der Anschauung der Analysis situs gleichberechtigt. Sie unterscheiden sich nur in der Anordnung ihrer Teile. Die Flache des M o dells i hat die merkwiirdige Eigenschaft, bei senkrechter Lage ihres langsten Durchmessers nur ein Maximum, ein Minimum und ein Maximinimum zu haben. Sie zeigt sich so als die einfachste geschlossene Flache, bei der die drei mbglichen Arten der Extreme samtlich und zwar nur einmal vorkommen. Riicksichtilch der Extreme ist sie also die einfachste Flache nachst der Kugel. Die im M o dell 2 dargestellte Flache iiberrascht durch ihre S y m m e tric. Sie besitzt eine dreizahlige Symmetrieaxse; bei einer Drehung u m 1200 u m diese Axse k o m m t die Flache mit sich selbst zur Deckung.