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Serie XXI.

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besonders auf die Gestaltung der abwickelbaren Flache und ihrer Doppelcurve von wesentlichem Einfluss sind. Es ist hier das V o r k o m m e n von Curventangenten gemeint, die die Curve noch in einem weiteren Punkte schneiden. Bei den Raumcurven 4. Ord. zweiter Species existiert ein Fundamentaltetraeder; in Bezug auf dieses gruppieren sich die Curvenpunkte zu je vier derart, dass ihre 6 Verbindungslinien die Gegenkanten des Tetraeders paarweise treffen und dass sie durch die Kanten harmonisc^h getrennt werden. Drei der Kanten des Tetraeders sind Doppelsecanten der Curve, sie schneiden sich in einer Tetraederecke, die wir als H a u p t p u n k t bezeichnen. Das Tetraeder ist zugleich Polartetraeder fur das Hyperboloid, auf d e m die Curve gelegen ist. Bei den Modellen 1, 2, 3 und 4 wurde nun ein Rotationshyperboloid, sein Mittelpunkt als Hauptpunkt und seine Axen als Doppelsecanten aus ihm gewahlt. Es ist das keine Specialisierung, kann vielmehr aus der allgemeinen Lage durch raumliche CoUineation abgeleitet werden. Zu jedem Curvenpunkte findet m a n dann drei weitere, indem m a n auf die Axen Lote fallt und diese u m sich verlangert; d. h. dreht m a n die Curve u m eine der drei Axen u m 1800, so nimmt sie wieder die namliche raumliche Lage ein. Durch Verwendung dieser Symmetrieverhaltnisse in Bezug auf die Axen gewinnt die Raumcurve und ihre abwickelbare Flache ungemein an Ubersichtlichkeit. Als Curvenpunkte von besonderer Bedeutung treten erstens die vier Punkte mit Wendeberiihrebenen (Ebenen mit vier consecutiven Curvenpunkten) auf. Die Doppelcurve der abwickelbaren Flache geht durch sie hindurch und sie erscheinen deshalb als Pinchpoints derselben. Zweitens gibt es vier Curventangenten, die die Curve noch in einem weiteren Punkte schneiden. Diese Punkte bilden Spitzen fur die Doppelcurve, und langs jener Tangenten durchschneidet die abwickelbare Flache das Hyperboloid. Es m a g noch erwahnt werden, dass'von d e m Hyperboloid, auf d e m die Raumcurve liegt, bei den Modellen nur die Schar von Erzeugenden angegeben ist, welche Trisecanten derselben sind. Eine Abhandlung wird beigefugt. Veroffentlicht 1892.

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