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Serie XXI.

wickelbare Flache liegt teils im Innern des Hyperboloids, teils ausserhalb; ihre Doppelcurve rubt in zwei Spitzen auf demselben und durchdringt es in zwei anderen Punkten; letztere sind wieder Pinchpoints der Flache. Das Stuck der Doppelcurve, welches ausserhalb des Hyperboloids sich befindet, verlauft isoliert. Mark 52.—. Nr. 5. Raumcurve 4. Ord. mit zwei Streckungspunkten, in denen drei consecutive Curvenpunkte in gerader Linie liegen. Diese Curve i t speciell, sie bildet s den Ubergang von 1 nach 2. Die abwickelbare Flache zeigt eine Doppelcurve von gleicher BeschafTenheit, wie die gegebene Raumcurve und ausserdem zwei Ruckkehrgeraden, namlich 4ie Tangenten in den Streckungspunkten. Im Fall 1 verehrgen sich diese Ruckkehrgeraden mit der Doppelcurve, wobei dann die Spitzen entstehen; im Fall 2 verschwinden sie. Mk. 48.—. „ 6. Specialfall des vorigen. Die beiden Punkte mit Wendeebenen fallen mit den Schnittpunkten der beiden schneidenden Curventangenten zusammen. Naturlich i t auch diese Curve nur in Bezug auf eine Axe s symmetrisch. Die abwickelbare Flache besitzt eine dreifache Curve — im Modell i t sie ein Kreis —, die dadurch entsteht, dass im Fall 5 s jede Spitze der Doppelcurve mit einem ihrer beiden Durchdringungspunkte (Pinchpoints der Flache) zusammenruckt. Ein Teil des dreifachen Kreises liegt im Innern des Hyperboloids, durch ihn geht nur ein Flachenmantel, der andere Teil liegt aussserhalb und in ihm durchsetzen sich drei Flachenmantel. Mark 49.—. „ 7. Raumcurve 4. Klasse, die aus No. 6 durch reciproke Raumtransformation abgeleitet ist; sie liegt auf einem Kreiscylinder und besitzt zwei Spitzen. Die Erzeugenden ihrer abwickelbaren Flache liegen zu drei und drei in den Tangentialebenen jenes Cylinders, und deren Doppelcurve i t wieder s eine Raumcurve 4. Ord. Mark 49.—. Aussere Begrenzung der Modelle 20 cm. Preis der ganzen Serie ££01 Mark 320 Von den Raumcurven 4. Ordnung erster Species und ihren abwickelbaren Flachen existieren bereits mehrfaltig Fadenmodelle. Eine Modellierung der R a u m c u r v e n 4. O r d n u n g zweiter Species bietet indes in mancherlei Hinsicht noch grosseres Interesse als die vorerwahnten Raumcurven und scheint nur wegen dei sich dabei darbietenden Schwierigkeiten bislang unterblieben zu sein. Einmal lassen sich die • Curve n 4. Ord. erster Species als Schnitt zweier Flachen 2. Grades (zweier Kegelflachen) leichter vorstellen und ihre verschiedenen Gestalten leichter iibersehen, als dieses bei den Raumcurven 4. Ord. zweiter Species der Fall ist, die als teilweiser Schnitt eines Hyperboloids mit einer Flache 3. Grades erscheinen. Z u m andern ist der Reichtum der Gestalten bei letzteren grosser, als bei ersteren. Drittens zeigen sich bei letzteren Vorkommnisse, die bei ersteren nicht eintreten konnen, und die