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Serie XII.

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Modell i zeigt die Curve, welche der Durchschnitt von vier re e lien K e g e l n ist. Von jedem derselben ist eine Anzahl von Erzeugenden durch Faden dargestellt. Es laufen dann immer vier Faden durch einen Curvenpunkt und halten eine Perle, deren Gesamtheit die Curve ver~ anschaulicht. Modell 2 bildet eine Erganzung des ersten, indem es dieselbe Curve wie jenes vorfiihrt, diesmal aber eingehiillt durch ihre vermittelst Faden dargestellten T a n g e n t e n . In den Ebenen je dreier Kegelspitzen treflen sich die Tangenten paarweise und bilden so die aus vier rationalen ebenen Curven vierter Ordnung zusammengesetzte D o p p e l c u r v e der abwickelbaren Flache. Jede dieser vier Curven besitzt in drei Kegelspitzen Doppelpunkte, von denen je einer isoliert ist. Die Punkte der Doppelcurve sind da, w o sich zwei Faden treflen, wieder durch Perlen bezeichnet. D a sie aber auch isolierte Teile enthalt, in denen sie die Flache verlasst, so zeigen Drahte ihren vollstandigen Verlauf an. Die Z w i c k p u n k t e der Doppelcurve, in denen die isolierten Teile auf die Flache stossen, sind die Schnittpunkte der vier Ebenen, in denen sie liegt, mit der Raumcurve. Diese Punkte sind auch beztiglich der Raumcurve als singulare P u n k t e ausgezeichnet. Sie besitzen namlich R u c k k e h r s c h m i e g u n g s e b e n en (diese Singularity ist im zweiten Modell der Serie X L dargestellt). Es ist dadurch zugleich der allgemeine Satz veranschaulicht, dass in einem derart singularen Punkt einer beliebigen Raumcurve die abwickelbare Flache diese verlasst und weiterhin isoliert verlauft. Modell 3, welches die Curve darstellt, durch die nur zwei reelle Kegel gehen, vereinigt fur diesen Fall, was fiir den ersten in zwei M o delle getrennt ist. Modell 4 stellt die Raumcurve vierter Ordnung dar, durch welche kein reeller Kegel geht. D a die Curve die Eigentiimlichkeit hat, dass sie nur auf geradlinigen F l a c h e n zweiter Ordnung liegt, so war es moglich, sie durch zwei Byperboloide herzustellen, von welchen je eine Schar von Erzeugenden durch eine Anzahl von Faden veranschaulicht ist. Die vier imaginaren Kegelspitzen liegen paarweise auf zwei reellen Geraden und diese sind einander conjugiert in Bezug auf jedes der beiden Hyperboloide, d. h. sie sind Gegenkanten von zwei Tetraedern, deren iibrige Kanten durch Erzeugende je einer der Flache gebildet sind. Diese Erzeugenden sind durch besondere Faden, jene Gegenkanten durch Drahte hervorgehoben. Jeder von diesen schneidet die beiden Hyperboloide in sich trennenden Punktepaaren, den Eckpunkten der Tetraeder. Die