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Bometrie der Flachen. VII. Infinitesimalge

der Figuren reden, weil m a n getrennt gelegene Flachenstucke durch Verschiebung in der Flache selbst zur Deckung bringen und mit einander vergleichen kann. Die notwendige Bedingung zum Aufbau einer 219°. (X, 12 a.) Dreiaxiges Ellipsoid nebst Geometrie, im Euklidischen Sinn, ist damit Andeutung der Enveloppe von geodatischen fur diese Flachen gegeben; an die Stelle Linien, welche von einem Punkt ausgehen. der „Geraden" tritt hier nur die kiirzeste, Durch den Ausgangspunkt der geodatischen d. h. die „ geodatische Linie". Die Geometrie Linien gehen 2 Krummungslinien; die 4 auf den Flachen von constanter positiver Spitzen der Enveloppe (auch hier ist sie K r u m m u n g ist die gewohnliche spharische ein vierspitziger Curvenzug) liegen zu je Geometrie; die auf den Flachen von conzweien auf denjenigen Krummungslinien, stanter negativer K r u m m u n g wird Nichtwelche zu den durch den Ausgangspunkt Euklidische Geometrie genannt und gehenden beiden symmetrisch liegen. Vgl. deckt sich mit der durch Lobatschewsky Dr. A. v. B r a u n m u h l ' s Abhandl. in den begriindeten, welche des elften Axioms von Math.Annalen, Bd.20, pag.557ff. (19x11 cm.) Euklid entbehrt. Der Unterschied zwischen Nr. 216, 218 u. 219 zus. Mk. 16.—. dieser und der spharischen hat ein verDie Modelle Nr. 215—219 wurden von schiedenes Verhalten der unbegrenzt verDr. A. von Braunmiihl in Miinchen (B) con- langerten geodatischen Linien zur Folge. struiert. Vergl. dessen Abhandlung in den (Vergl. die diesbezuglichen Anmerkungen Math. Annalen Bd. 14, pag. 553ff.u. Bd. 20. zu den Modellen beider Flachengattungen). Erlauterung beigegeben. Die nachfolgenden Flachenmodelle sind Geodatische Linien finden sich auch bestimmt, dem Studium dieser Geometrie auf den Flachen von constantem Krummungs- zu dienen. Zu diesem Zweck sind einzelnen mass Nr. 220, 221, 228—230 und von corf- N u m m e r n verbiegbare Messingbleche stanter mittlerer K r u m m u n g Nr. 239—243. von dem Krummungsmass der Flachen beigegeben, welche jeder beliebigen Stelle einer Flache von dem gleichen Krummungsmass, e) Flachen von constantem wie es der Streifen besitzt, sich anschmiegen. K r u m m u n g s m a s s u n d aufeinander Die partielle Differentialgleichung, durch abwickelbare Flachen. welche diese Flachen definiert sind, wird Fur die Flachen von constantem Kriim- unter Voraussetzung einer Rotationsmungsmass ist das Product der beiden flache zu einer gewohnlichen integrierHauptkrummungsradien, dessen reciproker baren und liefert fiir die Meridiancurve der Wert nach Gauss gleich dem Krummungs- Flache die Gleichung mass der Flache in dem betrachteten Punkt z=[]fJEZldr, istj an jeder Stelle dasselbe. Nach dem Vorzeichen dieses Productes unterscheidet wobei + t2, der reciproke Wert des Kriimm a n Flachen von constanter positiver oder mungsmasses der Flache ist. Sowohl fiir die Flachen positiver wie fur negativer K r u m m u n g oder von der Krumdie negativer K r u m m u n g erhalt m a n 2 vermung Null. Alle Flachen von gleichem constanten Krummungsmass sind ohne Deh- schiedene Typen, zwischen denen ein Ubernung und Schrumpfung auf einander auf- gangsfall mit einfacheren Eigenschaften liegt biegbar und in sich selbst verschiebbar, wie (Kugel und Tractrixflache). z. B. die Ebene oder die Kugel. M a n kann 220—222. (V, 2.) Rotationsflachen von auf solchen Flachen daher von C o n g r u e n z constantem positiven Krummungsmass mit 218°. (X, 12 b.) Dasselbe, grosserer Massstab. Durch einen im Punkte A befestigten Faden kann m a n die Erzeugung der Enveloppen demonstrieren. (18x13 cm.)