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VI. Raumcurven und abwickelbare Flachen.

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abwickelbaren Flache gent durch sie hindurchbildet den Uebergang von X X I , 1 nach 2. und sie erscheinen deshalb als Zwickpunkte Die abwickelbare Flache zeigt eine Doppelderselben. Ferner gibt es 4 Curventangenten curve von gleicher Beschaffenheit, wie die (T), die die Curve noch in einem weiteren gegebene Raumcurve und ausserdem zwei Punkte schneiden. Diese Punkte bilden Ruckkehrgeraden, namlich die Tangenten Spitzen fur die Doppelcurve, und langs jener in den Streckungspunkten. Im Fall 1 verTangenten durchschneidet die abwickelbare einigen sich diese Ruckkehrgeraden mit der Flache das Hyperboloid. Dargestellt sind: Doppelcurve, wobei dann die Spitzen entstehen; im Fall 2 verschwinden sie. Mk. 48.—. 163. (XXI, 1.) Raumcurve 4. Ordnung mit 168. (XXI, 6.) Specialfall des vorigen. 4 reellen (T) und keinem reellen (W). Die Trisecanten schneiden die Curve, die ganz Die beiden Punkte mit Wendeebenen fallen im Endlichen liegt, teils in drei, teils in mit den Schnittpunkten der beiden schneieinem reellen Punkte. Die abwickelbare denden Curventangenten zusammen. NatiirFlache liegt teils ausserhalb, teils innerhalb lich ist auch diese Curve nur in Bezug auf des Hyperboloids, das sie langs jener Tan- eine Axe symmetrisch. Die abwickelbare genten durchdringt; ihre Doppelcurve liegt Flache besitzt eine dreifache C u r v e — ganz ausserhalb und ruht mit 4 Spitzen auf im Modell ist sie ein Kreis —, die dadurch demselben auf Mk. 64.—. entsteht, dass im Fall 5 jede Spitze der Doppelcurve mit einem ihrer beiden Durch164. (XXI, 2.) Raumcurve 4. Ord. mit dringungspunkte (Zwickpunkte der Flache) reellen (W) und ohne reelle (T). Die Curve zusammenruckt Mk. 49.—. liegt ganz im Endlichen; alle Trisecanten 169. (XXI, 7.) Raumcurve 4. Klasse, treffen sie nur in e i n e m reellen Punkte. Die abwickelbare Flache liegt ganz ausser- die aus X X I , 6 durch reciproke Raumtranshalb des Hyperboloids; ihre Doppelcurve formation abgeleitet ist; sie liegt auf einem durchdringt das Hyperboloid in jenen 4 Kreiscylinder und besitzt zwei Spitzen. Mk. 49.—. Punkten, welche Zwickpunkte fur sie sind. Mk. 54.-. Vergl. auch die Erlauterung bei Serie X X I . (Grosse aller Mod. 2 0 x 2 0 x 2 0 cm.) 165. (XXI, 3.) Raumcurve 4. Ord. ohne Ganze Serie Mk. 320.—. reelle (T) und <W). Die Curve verlauft vier Mai durchs IJnendliche. Die Raumcurve 170. 171. (XVII, 2.) Die sieben Hauptprojiciert sich fur das Auge als ebene Curve typen der ebenen Curven 3. Ord., nach Mobius mit dreifachem Punkte oder mit drei reellen auf einer Kugel dargestellt. Vergl. die MoDoppelpunkten, von denen einer isoliert sein delle der Kegel 3. Ordnung, Nr. 78—84. kann. Mk. 30.—. (XXV, 1—7.) Diese spharischen Curven vereinigen 166. (XXI, 4.) Raumcurve 4. Ord. mit die gestaltlichen Eigentumlichkeiten der zwei reellen (T) und zwei reellen (W) Sie collinear-verwandten Typen in einem Bilde, lauft zwei Mai durchs Unendliche, kann aber wahrend jede ebene Darstellung den Verlauf ganz ins Endliche gebracht werden. Von der Curve im Unendlichen entstellt. dem Fundamentaltetraeder sind hier nur Von den 7 Typen sind drei durch Spaltung noch zwei Gegenkanten reell, von denen eines der 5 Newton'schen Haupttypen enteine als Axe des Hyperboloids in der Ebene standen. Sie bestehen aus einem unpaaren des Kehlkreises gewahlt ist. . Mk. 52.—. Zug und unterscheiden sich nur durch die Lage der Verbindungslinie der Wendepunkte 167. (XXI, 5.) Raumcurve 4. Ord. mit zwei Streckungspunkten (drei consecutive gegen das Dreieck der Wendetangenten. Curvenpunkte in gerader Linie). Diese Curve Sie sind hier auf einer K u g e l (Nr. 170)