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IV. Algebraische Flachen von hohe

: als 4. Ordnung*. Liniengeometrie.

winklig schneiden; auf jeder Doppelcurve 115. (XIII, 10.) Regelflache 4. Ord. mit liegen zwei reelle Zwickpunkte. Die Flache Doppelcurve 3. Ord. ohne reelle Zwickpunkte. ist mehrfach symmetrisch; der Selbstbe- Auch diese Flache besitzt nur einen Mantel, riihrungspunkt (Schnittpunkt von Kreis und der sich jedoch langs der ganzen DoppelGeraden) liegt reell auf der Flache. Mk. 49.—. curve selbst durchsetzt. Gleichwohl sind die 114. (XIII, 9.) Regelflache 4. Ord. mit Erzeugenden wieder z u m Teil reelle, z u m Doppelcurve 3. Ord. und vier reellen Zwick- Teil ideelle Doppelsecanten der Raumcurve punkten. Die Flache besteht aus einem Mantel, 3. Ord., unter den en sich wieder vier Tanauf dem zwei Stiicke der Doppelcurve liegen; genten befinden . . . . . . . Mk. 45.—. die Erzeugenden sind teils reelle, teils ideelle (Grosse aller Modelle 18x18 cm.) Doppelsecanten der Raumcurve 3. Ord., Ganze Serie Mk. 430.—. darunter vier Tangenten . . Mk. 45.—.

IV. A l g e b r a i s c h e Linieng

Flachen y

hoherer als 4. Ordnung.

116. (X, 9.) Flache 8. Ord. Sie besitzt 2 zu einander senkrechte, sich schneidende Selbstberiihrungsgeraden, von den en jede in 2 uniplanaren Punkten hoherer Ordnung (durch Zusammenziehen von 2 Zwickpunkten entstanden) aus ihr heraustritt, 2 congruente ebene Doppelcurven 4. Ord., die im Mittelpunkt (hohe Singularitat) einen Selbstberuhrungspunkt besitzen und aus der Flache in zusammen 8 Zwickpunkten heraustreten, endlich 2 Doppeltangentialebenen, welche die Flache langs zweier Kreise beruhren. Sie entsteht durch die Bewegung eines Kreises von unveriinderlichem Radius dadurch, dass die Endpunkte eines Durchmessers desselben stets auf 2 zu einander senkrechten Geraden gleiten (die beiden Selbstberiihrungsgeraden), wahrend die Ebene des beweglichen Kreises stets auf ;der Ebene der beiden Geraden senkrecht steht. Die genannte Flache enthalt den unendlich fernen imaginaren Kugelkreis als Doppelcurve. Von stud. math. Finsterwalder in Miinchen (B). (7x5 cm.) Mk. 4.75. 117. (VIII, 3.) Flache 12. Ord. Ihre Horizontalschnitte sind solche Brennlinien, wie sie d u r c h Reflexion eines v o n einem P u n k t a u s g e h e n d e n Strahlen-

biischels an einem Kreise ents t e h e n. Dieselben sind so auf einander geschichtet, dass die reflektierenden Kreise einen Kreiscylinder bilden, wahrend die leuchtenden Punkte eine u m 45° gegen die Horizontal ebene geneigte Gerade ausfiillen. Die Flache kann angesehen werden als ein Teil der B r e n n f l a c h e der von einer leuchtenden Linie ausgehenden Strahlen nach ihrer Reflexion an einem Cylinder, dessen Axe die Linie trifft. Die Flache besitzt als Riickkehrkanten 2 sich in einem Punkte beruhrende gleichseitige Hyperbeln und eine weitere Raumcurve, die sich selbst und die Hyperbeln in dem genannten Punkte beruhrt. Von stud. math. Finsterw alder in Miinchen (B); hierzu eine Erlauterung. (13x20x12 cm.) Mk. 17.50. 118—120. (I, 2.) Flache 12. Ordnung. Brennflache, welche von einem zur Axe wenig geneigten Parallelstrahlen-System nach deren Durchgang durch ein centriertes Linsensystem eingehiillt wird. (Vergl. Seidel, Schuhmachers Astron. Nachrichten, Nr. 1027ff.,Monatsberichte der Berliner Academie, Dec. 1872, Finsterwalder, Abh. der bayer. Acad, von 1891.) Das Modell ist affin zu der Centraflache des Paraboloids: