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III. Algebraische Flachen 4. Ordnung'.

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entsteht durch Inversion aus einem para- I c) F l a c h e n 4. O r d n u n g m i t 4 langs bolischen Cylinder, wobei das Centrum auf Kreisen b e r u h r e n d e n E b e n e n . der Scheitelgeraden gelegen ist. J 98—103. (IX, 1-6.) Diese Modelle sind Die 3 F l a c h e n sind R e p r a s e n Copien nach den im Besitze des mathet a n t e n v o n F l a c h e n 4. O r d n u n g , fur die ein Mantel der Centraflache matischen Seminars der k. Universitat zu Berlin befindlichen Originalen, von Herrn sich auf einen Kreis reduciert. I K u m m e r besprochen in den Monatsberichten I der k. Akademie zu Berlin von 1862, 1866, b) Kummer'sche Flachen. i 1872. Abdriicke werden beigelegt. Die Kummer'sche Flache (SingularitatenDie Gleichung aller dieser Flachen lasst flache eines Complexes zweiten Grades) ist sich in die Form bringen: y2 — Ipqrs = o, von der vierten Ordnung und von der vierten wo 90 = 0 die Gleichung einer Flache zweiter Klasse und besitzt 16 Knotenpunkte und Ord.; p, q, r, s = 0 die von 4 Ebenen beebensoviele Doppeltangentialebenen, welche I deuten; es sind dies diejenigen 4 Tangentialje 6 Knotenpunkte enthalten. Vergl. ebenen, welche die Flachen langs einer Curve K u m m e r , Abhandlungen der Berliner Aka- beriihren. Die 4 Ebenen bilden in den demie von 1886 pag. 62 ff.; Pliickers Werk: Modellen ein regulares Tetraeder: Neue Geometrie des Raumes etc., Leipzig" . p — x -\-y~i~ z — a 1868; Salmon, Geometrie des Raumes II. q = — x-\-y — z — a pag. 411—414, sowie Kapitel XII. r = — x—y-\-z — a s= x — y — z — a, 95. (II, la.) Alle 16 Knotenpunkte und I Doppeltangentialebenen sind reel!. (21x18 cm.) I und die 12 Schnittpunkte der 6 Kanten desMk. 28.—. i selben mit der Flache zweiter Ord., einer Kugel, deren Mittelpunkt mit dem des Tetraeders zusammenfallt und deren Gleichung I daher ist: J y = x2 + y 2 + z* — r2 = 0, J sind Knotenpunkte der dargestellten Flache I vierter Ord. Je nach der Annahme des I Radius der Kugel r und des Parameters A I (das Tetraeder als gegeben betrachtet) erhalt I m a n verschiedene Typen, von denen die I charakteristischen modelliert sind. 96. (II, lb.) 8 der Knotenpunkte und 98. (IX, 1.) Die Flache besteht aus 4 conDoppeltangentialebenen sind reell. (30x20cm.) gruenten Teilen, die in 6 biplanaren KnotenMk. 32.50. punkten zusammenhangen. Die zwei Tangen97. (II, lc) 4 der 16 Knotenpunkte und tialebenen in jedem solchen Punkt sind reell Doppeltangentialebenen sind reell. (20x15cm.) und beruhren die Flache in Kreisen. Sie Mk. £1.— . entsteht, indem die Kugel die Kanten des TeAlle 3 Modelle wurden von stud. math. I traeders beriihrt, d. h. indem a = r, l < o ist R o h n in Munchen (K) modelliert; Erlaute- ; Die aufgezeichneten Curven sind die Kegel-' rungen werden beigegeben. j schnittpaare, nach welchen die Flache von Zu den Kummer'schen Flachen sind ferner jeder Tetraederflache geschnitten wird. Die noch die unter Nr. 361 (X, 7) und Nr. 363 j biplanaren Knoten besitzen hier die Eigen(VI, 2) aufgefiihrten Wellenflachen zu tumlichkeit, dass in denselben jede durch rechnen. j den Schnitt der beiden Tangentialebenen