Repository: UIHistories Project: Mathematical Model Catalog (1911 - German) [PAGE 137]

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III. Algebraische Flachen 4. Ordnung: a) Cycliden. Kegelmantel sich entweder durch drei Dreikante oder durch drei Vierkante hindurchwindet, die durch jene drei Beriihrebenen und die Ebene der drei Wendekanten begrenzt werden. D e m entsprechen die folgenden Modelle:

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81. (XXV, 4.) Der Kegel besteht aus einem paaren und einem unpaaren Mantel. Mk. 20.—. 82. (XXV, 5.) Der Kegel besteht aus einem einzigen unpaaren Mantel und durchzieht die Dreikante . . . . Mk. 16.—.

83. (XXV, 6.) Der Kegel besteht aus einem einzigen unpaaren Mantel und durch zieht die Vierkante . . . . Mk. 20.—. 84. (XXV, 7.) Der Kegel besteht aus einem einzigen unpaaren Mantel und besitzt drei durch eine Gerade gehende Wendeberiihrebenen Mk. 16.—. (Hohe der Modelle 17 cm.) Ganze Serie Mk. 128.—. Vgl. die Modelle Nr. 170, 171 (XVII, 2); hier sind die Schnittcurven der Kegel dritter Ordnung mit Kugeln dargestellt, die u m ihre Spitzen beschrieben werden.

III. A l g e b r a i s c h e a ) Cycliden.

Flachen

vierter

Ordnung.

Unter Cycliden im allgemeinen Sinn (nach Darboux) versteht m a n alle diejenigen Flachen vierter Ordnung, welche den unendlich fernen imaginaren Kugelkreis zur Doppelcurve haben. Sie sind die Enveloppen aller Kugeln, deren Mittelpunkte auf einer Flache zweiten Grades liegen und eine gegebene Kugel stets orthogonal schneiden. Sie besitzen Scharen von Kreisen, die teilweise zugleich Krummungslinien sein konnen; die Krummungslinien sind im Allgemeinen jedoch hohere algebraische Curven. Diese Flachen konnen bis 4 Knotenpunkte enthalten. Die Flachen mit 1, 2, 3, 4 Doppelpunkten erhalt m a n auch durch Transformation mittelst reciproker Radien beziehungsweise aus folgenden Flachen zweiter Ordnung:

a) allgemeine Flache zweiter Ordnung, b) beliebiger Kegel, c) Rotationsflache, d) Kreiskegel. D a die Krummungslinien dabei erhalten bleiben, und Gerade und Kreise im Allgemeinen in Kreise, Ebenen und Kugeln in Kugeln ubergefuhrt werden, so besteht im Falle b) und c) das eine System von Krummungslinien aus Kreisen, die sich in 2 Doppelpunkten der Flache schneiden, das andere wird durch Kugeln ausgeschnitten (ist spharisch). Im Falle d) sind die beiden Kreisscharen, welche aus den Erzeugenden, resp. Parallelkreisen des Rotationskegels sich ergeben, von denen die ersteren sich in den 2 reellen, die anderen sich in den 2 imaginaren Knotenpunkten schneiden, zugleich Krummungslinien. M a n nennt diese letzteren Dupin'sche Cycliden. Dieselben ergeben sich auch als Enveloppen aller Kugeln, welche 3 gegebene beriihren.