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II. Algebraische Flachen 3. Ordnung: a) Nichtgeradlinige Flachen. Die Tangentialebene langs der letzteren Geraden enthalt die einzige unare Gerade der Flache mit 2 reellen Asymptotenpunkten. Die parabolische Curve ist, von den dazu gehorigen Geraden abgesehen (grime sechsfach, rote doppelt), eine Curve vierter Ordnung, welche aus einem einzigen Oval best eh t und in (J? eine Spitz e mit den griinen Geraden als Tangente daselbst besitzt. Durch diese Flache findet der Ubergang von Nr. 59 zu 60 statt. (12x15 cm.) Mk. 10.—. 62. (VII, 19.) Flache mit einem uniplanaren Knoten Us, durch welche die Klassen^ zahl u m 8 vermindert wird. Die Tangentialebene in U8 osculiert die Flache langs der einzigen siebenundzwanzigfach zahlenden Geraden. Sieht m a n von dieser als Teil der parabolischen Curve zehnfach zu rechnenden Geraden ab, so ist die parabolische Curve ein Kegelschnitt, der in U8 die Gerade der Flache beriihrt. (12x15 cm.) Mk. 7.50 63. (VII, 26.) Drahtmodell, darstellend die Abbildung der Flachen mit I, 2, 3, 4 conischen Knoten C2, welche einem reellen Pentaeder angehoren, auf den Punktraum. Im Allgemeinen laBt sich die Gleichung einer jeden Flache dritter Ordnung als die S u m m e von 5 Cuben von linearen Ausdriicken in den Coordinaten darstellen, und zwar nur auf eine Weise. Diese 5 Ebenen bilden das zu dieser Flache gehorige Pentaeder, sie bestimmen 10 Schnittgerade (Pentaederkanten), und 10 Schnittpunkte (Pentaederecken); ausserdem gibt es noch 10 Ebenen, welche je durch eine Pentaederecke und die gegentiberliegende Kante gehen (Diagonalebenen). Das vorliegende Drahtmodell stellt nun schematisch das alien Flachen mit nur conischen Knoten (Nr. 44 bis 51) geiiieinsame Pentaeder dar. (Fur die Diagonalflache Nr. 44 lasst sich dasselbe sofort angeben. Die 10 Ovalpunkte dieser Flache sind die lOEckpunkte des Pentaeders; die 5 Ebenen desselben sind diejenigen Ebenen, welche je 3 nicht durch einen I I | ! I

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Punkt gehende rote Gerade enthalten; die 10 Diagonalebenen sind die Tangentialebenen in den Ovalpunkten.) Die gelben Drahte sind die Kanten des Pentaeders, dazu gehort noch die in der Horizontalebene gelegene, unendlich ferae Gerade, ihre Schnittpunkte (wovon 3 im Unendlichen) die Ecken desselben; die roten Geraden I Schnitte von Pentaeder- und Diagonalebenen; I die griinen von Diagonalebenen mit einander. j Die Diagonal- und Pentaederebenen teilen j den E a u m im ganzen in 15 Kammern, wovon 5 von 4 (Tetraederkammern), 10 von | 5 Ebenen (Pentaederkammern) begrenzt | werden. In jedem Pentaeder gibt es im I Allgemeinen nur eine einzige Flache, welche in einem gegebenen Punkt einen Doppelpunkt besitzt. Je nachdem nun dieser Punkt in verschiedenen K a m m e r n gewahlt wird, gibt es verschiedene Arten von Flachen dritter Ordnung, die durch die romischen Zahlen im Modeli gekennzeichnet sind. Ausser der beiliegenden Erklarung, von Rodenberg verfasst, vergleiche dessen Abhandlung in den Mathem. Annalen Bd. 14, ' pag. 46ff.;beziiglich des Pentaeders ferner die Abhandlung von Clebsch im Crelle'schen Journal Bd. 59, pag. 194ff.; ferner SalmonI Fiedler, Geom. d. Raumes, II. Teil, Art. 269, [ 282. 2. Aufl. (14x22 cm.) . . Mk. 10.—.

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64. (VII, 24 a.) Hesse'sche Flache zu Nr. 45 und 48. Sie ist eine Flache vierter Ordnung mit 14 reellen Doppelpunkten, von denen im vorliegenden Fall 3 im Unendlichen liegen.