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II. Algebraische Flachen 3. Ordnun lg: a) Nichtgeradlinige Flachen. 4 Gerade hinein gefallen; die 3 weissen Geraden dagegen sind einfach (unar). Der durch die 4 Eckpunkte bestimmte tetraederformige Flachenteil liegt ganz im Endlichen und ist positiv gekrummt. (13x15 cm.) Mk. 12.—. 46. 47. 48. 49. (VII, 3, 4, 5, 6.) Samtlich collinear verwandt der Flache Nr\ 45. Je nachdem m a n zur Gegenebene (Ebene, die bei der Collineation zur unendlich fernen Ebene gemacht wird) eine Ebene wahlt, welche den tetraederformigen Teil nicht trifft und die Flache nach einer Kurve dritter Grdnung mit Oval schneidet, oder von diesem Teil eine Kuppe abtrennt, oder einen Knoten des tetraederformigen Teils von den 3 tibrigen, oder endlich 2 Knoten desselben von den 2 tibrigen abschneidet, erhalt m a n der Reihe nach aus Nr. 45 die Flachen Nr. 46,47, 48, 49. In den drei ersten Fallen wurde ausserdem die Gegenebene horizontal gewahlt, im letzten durch eine der unaren Geraden (s. Nr. 45) gelegt, so dass beim Modell Nr. 49 eine dieser 3 Geraden im Unendlichen liegt. Der tetraederformige Teil erstreckt sich bei alien, mit Ausnahme von Nr. 46, ins Unendliche und ist immer positiv gekrummt. (13x15 cm.) Nr. 46, 48 je Mk. 12.—, Nr. 47, 49 je Mk. 11.—. 50. (VII, 7.) Flache mit 3 conischen Knotenpunkten C2. Sie ist aus Nr. 45 direct nicht ableitbar, aber entsteht aus der Diagonalflache durch Zusammenziehen der 3 unteren ellipsenformigen Oeffnungen zu Knoten. Die 3 weissen Geraden sind daher unar und besitzen reelle Asymptotenpunkte, in die blauen sind 2, in die roten (Knotenstrahlen) 4 Gerade hineingefalien. Die parabolische Curve besteht, abgesehen von den 3 als Teile derselben doppelt zahlenden Knotenstrahlen, aus einer Curve sechster Ordnung mit 3 Doppelpunkten in den Knoten, deren Tangenten daselbst die blau gezeichneten Geraden sind. (11x15 cm.) Mk. 11.—. 51. (VII, 8.) Dieselbe Flache, aber von der anderen Flachenseite betrachtet (der andere Raumteil ausgefiillt).

H 7

Sie veranschaulicht die Bildung des U6 von Nr. 59 aus 3 C2. (11x15 cm.) Mk. 11.—. 52. (VII, 9.) Flache mit 3 reellen biplanaren Knoten B&, von denen jeder die Klasse u m 3 erniedrigt, und fur welche samtlich die Tangentialebenenpaare reell sind. Die 3 verschiedenen Hauptebenen gehen durch je 2 der 3 Knotenstrahlen, in welche je4 Gerade hineingefalien sind, und osculieren die Flache langs derselben. Die Flache ist durchaus positiv gekrummt mit Ausnahme der Knotenstrahlen, welche, jeder als Teil der parabolischen Curve vierfach zahlend, die parabolische Curve reprasentier en. (11x15 cm.) Mk. 10.—. 53. (VII, 10.) Flache mit einem biplanaren Knoten B3, dessen 2 Tangentialebenen (auch Hauptebenen genannt) reell sind und der die Klasse u m 3 erniedrigt. Ausser den 6 durch den B3 gehenden, dreifach zahlenden Geraden (rot), existieren noch 9 unare (s. oben) Gerade (weiss), wovon 5 reelle, 4 imaginare Asymptotenpunkte besitzen. Die parabolische C u r v e besteht aus einem paaren.Zug mit 4 Schleifen und 2 Ovalen. B& ist ein achtfacherPunkt derselben, es gehen aber nur 4 reelle Aeste durch ihn hindurch, welche zu je zweien die beiden Hauptebenen, nicht aber die Knotenstrahlen beriihren, die in denselben liegen. Die Flache veranschaulicht die Entstehung des U6 aus dem Bz durch Vereinigung seiner Ebenen. (10x15 cm.) . . . Mk. 10.—. 54. (VII, 11.) Flache mit einem biplanaren Knoten Bs, dessen Hauptebenen conjugiert imaginar sind. Die parabolische C u r v e , welche im Allgemeinen bei Flachen mit einem solchen Knoten eine aus 3 reellen Ovalen bestehende Curve zwolfter Ordnung mit einem isolierten achtfachen Punkt im Knoten ist, degen eriert hier in eine ebene Curve dritter Ordnung und eine Raumcurve neunter Ordnung. Die Flache enthalt nur noch 3 reelle unare Gerade mit reellen Asymptotenpunkten. (12x15 cm.) Mk. 10.-.