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aung: a) Nichltgeradlinige Flachen. II. Algebraische Flachen 3. Ordr

II. Algebraische Fla a) Nichtgeradlinige Flachen 3. O r d n u n g .

chen dritter Ordnung.

aus der Diagonalflache die (nicht so iibersichtlich darstellbare) allgemeine Flache leicht ableiten. Diese Serie nach Prof. Dr. C. Rodenberg Solche Deformationsprocesse sind es iiberumfasst alle wesentlichen Typen in dem haupt, die nicht nur von den hier vorSinn, dass aus den modellierten durch leicht liegenden Haupttypen zu alien moglichen zu iibersehende Gestaltsanderungen alle Formen von Flachen dritter Ordnung hinFormen von Flachen 3. Ord. ableitbar sind. fiihren, sondern auch den Zusammenhang Insbesondere bietet sie fur jede Art von singu- zwischen den einzelnen Typen der Serie laren Punkten, die auf diesen Flachen vor- herstellen. kommen konnen, ein charakteristisches BeiDie 15 roten Geraden besitzen je zwei spiel. Vergl. Rodenberg's Aufsatz: „Zur reelle Asymptotenpunkte, d. h. unter den Classification der Flachen 3. Ord.", Math. Kegelschnitten, nach welchen alle durch Annalen Bd. XIV, pag. 46 ff. Der Serie ist eine solche hindurchgehenden Ebenen die eine von dem Urheber verfasste Abhandlung Flache schneiden, befinden sich 2 reelle, beigegeben. diese Gerade in den vorhin genannten Punkten beriihrende. Die 12 weissen Geraden bilden eine Doppelsechs, auf ihnen sind die Asymptotenpunkte imaginar. Mit Ausnahme der Ovalpunkte und der erwahnten Asymptotenpunkte ist die ganze Flache negativ gekriimmt, (15x24 cm.) . . Mk. 25.—. 45. (VII, 2.) Flache mit 4 reellen conischen Knotenpunkten C2*). Man erhalt dieselbe aus der Diagonalflache durch Zusammenziehen der 4 Halse. Von den 27 Geraden sind 4.6 in die 6 Kanten des aus den Knoten gebildeten Tetraeders zusammengeriickt. Beseitigt man einen Teil der Knoten durch Abschnuren, wahrend man die anderen wieder in Halse verwandelt, so erhalt man einen der Flachentypen mit weniger als 27 Geraden. Beim Abschnuren z. B. eines Knotens werden 4.3 = 12 Gerade imaginar, man hat also den Typus einer Flache mit nur 15 reellen Geraden u. s. f. In die 6 roten Verbindungsstrahlen je zweier Knoten (Knotenstrahlen) sind je *) Die Buchstaben C, B, U bedeuten conische, biplanare, uniplanare Knoten; der angehangte Zeiger gibt die Anzahl der Einheiten an, u m welche die Klasse durch die betreffende Singularity erniedrigt wird.

44. (VII, 1.) Die Diagonalflache mit 27 reellen Geraden (Bezeichnung von Clebsch, s. Salmon-Fiedler, Analyt. Geom. d. R. II. Art. 289) kann als Reprasentant der allgemeinen Fz mit 27 reellen Geraden angesehen werden. Zwar sind von den geradlinigen Dreiecken, welche die allgemeine Flache enthalt, auf dieser Flache 10 in Punkte zusammengeschrumpft. Biermit zugleich sind die diesen Dreiecken einbeschriebenen 10 Ovale der „parabolischen" Curve (derjenigen Curve auf der Flache, welche die Partien positiver Krummung von denen negativer trennt) auf Punkte (Ovalpunkte) reduciert. — Aber mit Hilfe eines Deformationsprocesses, dem eine Constanten-Aenderung der Flachengleichung parallel lauft, lasst sich