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Seric XXXLII.

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Modelle Nr. 2 u. 3. Die allgemeine Gleichung vierten Grades lasst sich durch eine einfache Transformation in die Form iiberfiihren: f(t) = t* + 6a% t2 + 4as t+a, = 0. Deutet man #2, #3, Cl± als rechtwinkliche Raumkoordinaten X, y, Z, so stellt diese Gleichung eine Schar von Ebenen mit dem Parameter t dar. Die Enveloppe dieser Ebenenschar ist eine abwickelbare Flache fiinfter Ordnung, die , Discriminantenflache der Gleichung''. Die Flache hat in , ihrer Symmetrieebene als Doppelcurve eine Parabel und ihre Riickkehrkante, deren Punkte als Schnitt je dreier unendlich benachbarten Ebenen bestimmt sind, wird durch die Gleichungen gegeben: x = -t\ y = 2ts, z = -3t*. Die Flache zerlegt den ganzen R a u m in drei Gebiete, von deren Punklen aus vier, zwei oder keine Schmiegungsebene an die Riickkehrcurve gelegt werden konnen, entsprechend den Zahlen reeller Wurzeln, die bei einer Gleichung vierten Grades auftreten konnen. Die allgemeinen Punkte der Discriminantenflache entsprechen Gleichungen mit einer reellen Doppelwurzel, und die Punkte der Riickkehicuive Gleichungen mit einer dreifachen Wurzel, die Spitze der Riickkehrcurve endlich der Gleichung t* — 0 mit der vierfachen Wurzel null. Diese Verhaltnisse werden durch das erste Modell veranschaulicht. Das zweite Modell enthalt ausser der Discriminantenflache noch zwei ihrer Schmiegungsebenen, die den Werten zb to entsprechen. Hierdurch wird der ganze R a u m in neun wesentlich verschiedene Gebiete geteilt, die einen Uberblick iiber die Gleichungen vierten Grades im Hinblick auf die Anzahl der reellen Wurzeln zwischen ± ^ 0 gestatten. Eine ausfiihrliche Abhandlung wird beigefiigt.

Verofifentlicht 1908 u. 1909.