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Seric XXXII.

dimensionalem Material erst erzeugt werden soil, sic bilden das Modellieinetz in einfachster Anordnung und bieten eine durch Analogien leicht verstandliche Anweisung zur Erzeugung. U m aus den umstehenden Netze einen Wiirfel zu erzeugen, konnte folgende Anweisung dienen: M a n biege die Bestandteile (Quadrate) des zweidimensionalen Netzes, ohne sie zu verzeiren, so in die Richtung der dritten Dimension, dass die gleichbezeichneten Kanten sich decken. D e m analog miisste zu den vorliegenden Modellen folgende Anweisung gegeben werden: M a n biege die Bestandteile (Tetraeder, Wiirfel) des dr.eid i m e n s i o n a l e n Gebildes, o h n e sie zu verzerren, so in die Richtung der vierten D i m e n s i o n , dass die gleichbezeichneten (gleichfarbigen) Flachen sich decken. Diese Amveisung kann zwar in unserem dieidimensionalen R a u m e nicht befolgt werden, aber gerade in d e m Versuche, sie zu b.efolgen, liegt die Belehrung. Besondeis hiibsch ist an d e m zweiten Modell die Art und Weise ersichtlich, wie der achte Wiirfel den Schlusstein des Ganzen bildet, entsprechend d e m obersten Quadrat in der nebenstehenden Figur. Wiirde m a n die dieidimensionalen Netze im dieidimensionalen R a u m e mit gleichmassiger Verzerrung der Bestandteile so biegen, dass die gleichfarbigen Flachen sich deckten, so erhielte man eine dieidimensionale Piojection. Die Modelle sind aus Carton hergestellt und mit farbigen Papieren tiberzogen. Modell Nr. 6. W e n n drei Punkte A , B , C einer Geraden von drei zugehorigen Punkten einer anderen Geraden dieselben Abstiinde behalten, so hat jeder andere Punkt M der Geraden A B auch eine bestimmte gleichbleibende Entfernung von d e m zugehorigen Punkte M x der Geraden A X B ^ , Die Doppelverhaltnisse ( M , A , B , C ) und ( M 1 ,AlfBlf Cx) sind gleich, und die Punkte M und M x entsprechen sich also homographisch. Es gibt nun einen Punkt P auf der Geraden A B , dessen zugehoriger Punkt P 1 auf der Geraden A ± B ± unendlich weit entfernt ist. W e n n m a n nun die Gerade A j B x festlegt, so beschreiben alle Punkte A I der Geraden A B Kugeln oder Kugelzonen, deren Mittelpunkt M i auf der Geraden A 1 B 1 liegen. Im besonderen beschreibt der Punkt P eine Ebene, die senkrecht zu A X B X liegt. Auf diesem Lehrsatz des Professors D a r b o u x in Paris beruht der vorliegende Planigraph. Professor