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F. Klein, Geometrisches liber Wurzelrealitat.

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Budan-Fourier etc. Audi mogen jetzt vor alien Dingen die quadratischen Gleichungen (3) herangezogen werden, insofern bereits bei ihnen alles Wesentliche hervortritt; iiber die cubischen Gleichungen gebe ich nur noch eine kurze Schlussbemerkung. W i r batten bei den Gleichungen zweiten Grades als N o r m curve die Parabel der Figur 1. Markiren wir auf ihr die beiden Punkte \ = x und \ = y (wobei fur x <i y der Punkt x rechts von y liegt) und unterscheiden dann drei Gebiete der Ebene, jenachdem sich v o m einzelnen Punkte (A, B ) aus an das zwischen x und y verlaufende Parabelstlick 2 oder 1 oder 0 Tangenten legen lassen, so entstelit offenbar die nebenstehende Pigur, welche ich kurzweg als die „richtigeu Figur (x, y) bezeichnen werde: — die Grenzen der dreierlei bei ihr zu unterscheidenden •l' 3 F^- < Gebiete werden teils von clem genannten Parabelstticke selbst, teils von den beiden, zu den. Punkten x unci y gehorigen Parabeltangenten gebildet. — Lassen wir liier y insbesondere ins U n endliche riicken, so entschwindet fur die Anschauung die ganze zu y gehorige Tangente und wir haben als zugehorige Gebietseinteilung den in Figur 4 vorgestellten Fall; wir benennen diese Figur als die „richtigcrc Figur (x, oo). Aufgdbe der zu discutirende/i linearen Kriterien wird es nun sein, diese richtigen Figuren mit moglichster Anndherung durch solehe zu ersetmn, bei welchen nur gerade Linien zur Felderabgrenzung gebraucht iverden. Y o n clieser Auffassung ausgehend, betrachten wir zunachst die Cartcsischo Zeichenregel. "Wir wollen clieselbe gleich in die verailgemeinerte F o r m setzen, in der sie die reellen Wurzeln von f (z) = o abzuschatzen gestattet, die grosser als ein beliebiges vorgegebenes x sind. E s handelt sich da urn die Functionsreihe: (13) f(x), f'(x), f"(x) und die Kegel behauptet, doss f (z) = o hochstens so viele reelle