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F. Klein, Geometriscbes liber Wurzelrealitat.

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nur eine Grenze der "Wurzelanzahl geben (approximirende Kriterien). Urn hiernach mit den genauen Kriterien zu beginnen, durch welche m a n die Gesamtzahl der reellen Wurzeln bestimmt, so habe ich gleich hier von der ublichen Darstellung der Lehrbiicher abznweichen. M a n finclet in den letzteren ubereinstimmencl das Verfahren von Sturm unci einen m e h r oder minder ausfuhiiichen Excurs liber diejenigen Methoden, welche sich an das Tragheitsprincip der quadratischen P o r m e n schliessen. Dagegen fehlt zumeist jecler Hinweis auf die bestimmte Ausgestaltung, welche letztere Methoclen durch Hermite unci Sylvester vermoge Aufstellung jener quadratischen F o r m von ( n — 1 ) Veranderlichen gefunclen haben, welche Sylvester als Bezoutiante bezeichnet*). Unci cloch zweifle ich nicht, class erst mit der Bezoutiante der Kernpunkt der ganzen Fragestellung getroffen ist. Sei wiecler f(z) = o die vorgelegte Gleichung. Wir machen der Bequemlichkeit halber homogen, inclem wir z durch Zl/za ersetzen unci mit z2n heraufmultipliciren. Solcherweise entstehe f(Zj, z 2 = o, w o wir n u n die linke Seite kurzweg mit i bezeichnen .) werden. Entsprechencl werde f abkiirzeiider "Weise fiir i(z\, z'2) geschrieben, unter z'x, z\ eine zweite Yariabelnreihe verstanclen. M a n bilde sich jetzt die „Combinanteu: di dl< di df _9z'2 dz2 dz\ (zx z'2 — z2 z\). Dieselbe ist linear unci homogen einerseits in 7 n " 7 n~3 7 ~2 7 u_2 anclererseits in Die Bezoutiante (8) B (t„ t2, . . . t ^ ) entsteht n u n einfaeh a m (7), inclem m a n die genannten aitfeinanderfolgenden Verbindungen der zi; zt ivie der z'l3 z'2 beide bez. . durch die ( n — 1 ) Unbestimmten t1} t2, . . . tu_! ersetzt. Unci n u n '*) Vgl. Sylvester in den ^Philosophical Transactions*' von 1853: On the syzygetio relations etc., Hermite in Bel. 52 von „Crelle's Journal", 1856. Vgl. ubrigens auch Baltzers Determinanten. (7) 3zx