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Nr. 4. Regelmafiige V e s r h e u. geschlossene Spiegelsysteme. iltaln

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I I Ein Neunstrahl, bestehend aus den 3 Strahlenpaaren des I. vorigen Systems, deren jedem ein weiterer Strahl hinzugefiigt ist, namlich der auf beiden Strahlen des Paares senkrecht stehende. Die 9 Strahlen ordnen sich zu drei Achsenkreuzen und auch die drei neuen Strahlen bilden unter sich ein solches. Das System enthalt von ebenen regelmafiigen Vielstrahlen 3 Paare, 3 Vierstrahlen und 4 Dreistrahlen. Dieser Neunstrahl i t nicht regelmafiig, sondern stellt die s Vereinigung der beiden vorigen regelmafiigen Systeme dar. (Ein besonderes Modell i t nicht notig, da m a n sich an dem vorigen s Modell zu dem Sechsstrahl I leicht das fehlende Achsenkreuz I hinzudenken kann.) IV. Ein Filnfzehnstrahl', bestehend aus funf Achsenkreuzen. V o n ebenen regelmafiigen Vielstrahlen sind in dem System enthalten: 15 Paare, 10 Dreistrahlen, 6 Ftinfstrahlen. (Modell Nr. 116.) Geht m a n von diesen vier Arten geschlossener Spiegelsysteme Erzeugung aus, so kann m a n von da leicht den Zusammenhang mit den d r G u p r e rpe] Gruppen von Drehungen u m einen festen Punkt herstellen. Bekanntlich kann namlich die Folge der Spiegelungen an zwei sich schneidenden Achsen ersetzt werden durch eine Drehung, deren Achse jene beiden senkrecht t i f , und deren Winkel dem doppelten rft Winkel jener Achsen gleichkommt. Auf diese Weise werden dadurch, dafi m a n die beiden Achsen auf alle Arten aus einem ebenen regelmafiigen /z-Strahle entnimmt, genau n Drehungen erzeugt, die eine zyklische Gruppe bilden; und es entsteht dabei jedesmal dieselbe Drehung, wenn die Achsen gleiche Winkel im gleichen Sinne einschliefien, wahrend die Deckung (Identitat) durch das Zusammenfallen der beiden Spiegelachsen bedingt i t s. N u n kann man, wie leicht ersichtlich, aus den drei letzten geschlossenen Spiegelsystemen genau die Tetraeder-, Oktaeder- und Ikosaedergruppe erzeugen, indent m a n in jedem dieser Systeme auf alle moglichen Weisen je zwei Spiegelungen des Systems zu einer Drehung zusammensetzt. U n d auf dieselbe Art erhalt man aus dem ersten System drei Drehungen, die als Umwendungen allerdings kurzer durch je eine der Spiegelachsen dargestellt werden konnten. M a n hat so eine einheitliche Entstehungsart gewonnen fiir alle vier moglichen Gruppen von Drehungen u m einen festen Punkt, die eine endliche Anzahl von Drehungen enthalten und nicht eine einzige Drehachse haben. In der folgenden Abhandlung wird auf diese Beziehungen ausfuhrlicher eingegangen werden. 2