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H. Wieners Sammlung. Gelenksysteme. Zur Theorie der abwickelbaren Regelflachen. (Modelle 131 und 131a.)

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Z u Nr. 131. Mit jeder Raumkurve, m a g sie als „Bahnkurve" durch eine stetige Folge von Punkten oder als ,,Hullkurve" durch eine stetige Folge von Schmiegungsebenen entstanden gedacht sein, ist eine abwickelbare Flache verkniipft, die durch die Folge ihrer Tangenten erzeugt wird, wobei diese wieder in doppelter B,edeutung auftreten, namlich als Grenze der Sehnen oder der Schmiegungsachsen. Diese Beziehungen werden in Nr. 131 an d e m einfachsten Beispiel einer Schraubenlinie dargelegt, indem auf ihr in gleichen Abstanden Punkte angenommen sind, durch deren drei aufeinanderfolgende jedesmal ein Dreieck gelegt ist, und diese Dreiecke bilden einen Flachenzug, der sich nach beiden Seiten hin beliebig fortsetzen laBt, und dessen Ecken Punkte einer Schraubenlinie sind, wahrend die Kanten und Seiten des Flachenzugs in der Grenze in Tangenten und Schmiegungsebenen der Schraubenlinie iibergehen. Die Hohenlinien der gleichschenkeligen Dreiecke (dargestellt durch die Arme, die den Flachenzug der Dreiecke mit der Achse verbinden) treffen die Achsen senkrecht, woraus folgt, daB die Schmiegungsebene eines Punktes auch seinen Radius enthalt. Das Modell ist in verschiedener Weise verstellbar gemacht: Zwei benachbarte Dreiecke konnen sich u m ihre gemeinsame Kante in einem Scharnier drehen, auBerdem konnen die Arme, die jene Dreiecke mit der Achse verbinden, verlangert und verkiirzt und auf der Achse verschoben werden. Auf diese Weise entstehen nicht nur beliebig viele Schraubenlinien, sondern auch noch andere Kurven, aber alle diese haben das eine gemeinsam, daB sie an jeder Stelle dieselbe K r i i m m u n g dx : ds haben, da sie sowohl das Bogenelement ds, namlich die Schenkellange der gleichschenkeligen Dreiecke, wie auch den Kontingenzwinkel dr, d. h. den Nebenwinkel des Winkels an der Spitze gemein haben. Nimmt m a n das Modell aus seinem Gestell heraus und klappt es in die Ebene, indem m a n den Schmiegungswinkel da zweier benachbarter Schmiegungsebenen (Dreiecke) zu o werden laBt, so stellt es den gemeinsamen Krummungskreis aller jener Raumkurven von konstanter Kriimmung dar. Dagegen kann die Torsion da : ds fur das System der Schraubenlinien gleichzeitig an alien Stellen u m den gleichen Betrag und fur eine der iibrigen dargestellten Raumkurven u m verschiedene Betrage geandert werden, da das Bogenelement ds konstant ist, aber der Winkel da durch Drehung im Scharnier geandert werden kann. Die beiden besonders beigegebenen durch Scharnier verbundenen Dreiecke Nr. 131a machen die Veranderung der Torsion anschaulich, auch kann durch Umklappen des einen Dreiecks u m die gemeinsame Kante der Sinn der Schraubung umgekehrt werden.