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Gelenksysteme.

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Weitere Sonderfalle treten auf, wenn zweimal oder dreimal die S u m m e zweier Gliedlangen gleich der S u m m e der beiden andern ist, wenn also auf zwei oder drei Weisen alle vier Gelenke gleichzeitig durchschlagen. D a n n werden zwei Paare Seiten bzw. alle vier Seiten einander gleich. Sind zweimal zwei Nachbarseiten einander gleich1), so erhalt m a n das gleichschenklige Viereck (Nr. 33), sind es zweimal zwei Gegenseiten, das Parallelogramm, das auch zum Zwilling, d. h. zu einem iiberschlagenen Viereck durchgeschlagen werden kann (Nr. 32). Fur das letztere und fur das gleichschenklige Viereck sieht m a n ohne weiteres ein, daB ihm (entsprechend d e m gleichzeitigen Durchschlag auf zwei Weisen) zwei Kreise eingeschrieben werden konnen, deren Mittelpunkte m a n nach der angegebenen Regel findet. Wendet m a n die Regel auch auf das Parallelogramm an, so findet man, dafl die beriihrenden Kreise der Viereckseiten in ein und dasselbe Punktepaar zerfallen, das auf der unendlich fernen Geraden durch die beiden Paare paralleler Seiten ausgeschnitten wird, wahrend die Mittelpunkte beider Kreise verschiedene unendlich feme Punkte sind, die namlich auf den Winkelhalbierenden der spitzen oder stumpfen Winkel des Parallelogramms liegen. Bei gleicher Lange aller Seiten (Rhombus Nr. 31) gibt es drei Weisen des gleichzeitigen Durchschlags aller vier Gelenke, die eine mit vier geknickten Durchschlagen, zwei andere mit gemischten Durchschlagen; eine besondere Anordnung des Modells 31 gestattet es, alle drei Weisen zu verwirklichen. V o n den drei Kreisen, die diesen Weisen entsprechen, verlauft der eine im Innern des Rhombus, die beiden anderen zerfallen wie vorhin in ein unendlich femes Punktepaar. W e n n m a n nach Darboux, der schon vor Reuleaux und Grashof die Theorie des Gelenkvierecks in einer umfassenden x\rbeit entwickelt hat, von den aufgezahlten Fallen alle diejenigen in eine Klasse zusammenfaBt, die durch Umstecken der Stabe aus einander hervorgehen, so erhalt m a n im allgemeinen Fall zwei Klassen (die Reuleauxs und Grashofs), IV und V der obigen Aufzahlung, und fur die Sonderfalle die drei Klassen I, II und III. Bezeichnet m a n mit D die S u m m e der groBten und kleinsten Gliedlange weniger der S u m m e der beiden mittleren Gliedlangen, so kann m a n aus den vier Gliedlangen noch zwei weitere solche Differenzen D ' und D " bilden und erhalt so die oben angegebenen Kennzeichen fur die Falle I — V . Die Falle I—III sind daher durch das Verschwinden dreier, zweier oder einer der drei „Invarianten" D , D \ D " des Gelenkvierecks gekennzeichnet, wahrend die Unterscheidung der weiteren Unterfalle der Falle I—III auf den verschiedenen Arten des gleichzeitigen Durchschlags aller vier Gelenke beruht, also nicht mehr wie die DARBOUXsche Unterscheidung von der Anordnung der Stabe unabhangig ist. 1) Wird in diesem Fall eine der kiirzeren Seiten zum Steg gemacht, so erhalt man einen „Tourenverdoppler", d. h. der kiirzere Arm beschreibt einen vollen Winkel, wenn der langere einen gestreckten beschreibt.