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Flachen zweiter Ordnung.

II

leichtert werden. Auch hier wird, wie bei den regelmaBigen Vielflachen, das Projizieren der Modelle eine zwar nicht unbedingt erforderliche, aber erwunschte Unterstutzung gewahren. Beim Ellipsoid und den beiden H y p e r b o l o i d e n ist ein gemeinsames Achsenverhaltnis 5:4:3 und bei den Hyperboloiden auch gleiche Lange der Achsen gewahlt. Denkt m a n sich das Ellipsoid durch ahnliche Verkleinerung auf dieselben Achsen gebracht und dann alle drei Flachen so in einander gesetzt, daft die gleichen Achsen sich decken, so sind die Flachen in einer besonderen Lage, in der m a n sie als h a r m o n i s c h zugeordnete F l a c h e n bezeichnet. Auch die Modelle der beiden Paraboloid e weisen die gleiche Beziehung auf, indem die Parabeln der Hauptschnitte der einen Flache mit denen der anderen Flache kongruent sind. Diese Beziehung ist deswegen von grofier Wichtigkeit, weil sich aus ihr ganz elementare Konstruktionen fur beliebige Punkte oder Tangenten der Flachen gewinnen lassen, falls diese durch ihre Hauptschnitte gegeben sind. In Nr. 7 der Abhandlungen wird eine rein geometrische und elementare Theorie der Flachen 2. O. mitgeteilt, die ihre Einfachheit der elementar-geometrischen Einfuhrung des Begriffs der harmonischen Zuordnung verdankt. Diese Betrachtungen lehren belieb ige P u n k t e oder B e r u h r e b e n e n aus d e n Hauptschnitten der Flache zu k o n struieren, ohne Anwendung von Saizen der projektiven Geometrie. Jedoch lassen diese Konstruktionen sehr wohl eine projektive Verallgemeinerung zu.