Repository: UIHistories Project: Mathematical Model Catalog (1892 - German) [PAGE 617]

EXTRACTED TEXT FROM PAGE:

Verlag von Martin Schilling in Halle a. S.

19

betrifft, die durch ihr Verhalten gegen die unendlich feme Gerade bedingt sind. Legt m a n irgend eine schneidende Ebene durch einen der 7 Kegel dritter Ordnung, so erhalt m a n eine Schnittkurve, die drei unendlich f e m e Punkte besitzt. V o n diesen konnen sein: a. alle drei getrennt, und zwar a. alle drei reell, (3. einer reell und zwei konjugirt imaginar; b. zwei zusammenfallend u n d einer davon getrennt, c. alle drei in einen einzigen zusammenfallend. Dabei kann das Zusammenfallen zweier Punkte bei b und c verschiedene Ursache haben, je nachdem die unendlich feme Gerade die Kurve beruhrt oder durch einen Doppelpunkt geht. Diese Unterschiede ergeben eine gewisse Einteilung der Kurven in Arten, denen eine feinere Teilung in Unterarten noch folgen kann; und je nachdem die Teilung mehr oder weniger weit verfolgt wird, erhalt m a n auch verschiedene Anzahlen von Kurvengestalten. So zahlt Newton deren 72, bei denen aber (trotz seiner Einteilung in 5 Parabeln) alle 7 Kegel zur Verwendung kommen, Pliicker zahlt 216 Arten, Salmon unter Zugrundelegung der 5-Teilung 30 Unterarten. Will m a n an den Modellen die Gestalt der Schnittkurve irgend einer gedachten Ebene erkennen, so lege m a n durch die Kegelmitte eine Parallelebene. Aus der Art des Schnittes der letzteren geht die Art, Zahl undBAchtung der Asymptoten (reelle, imaginare,parabolische) der Schnittkurve hervor, und daraus lasst sich die Gestalt der Kurve selbst ohne weiteres absehen. Die Kegel selbst verdienen insbesondere auch als einfache Beispiele von Kegeln unpaarer O r d n u n g Beaehtung. Ein Strahl, der einen solchen erzeugt, kehrt dabei nicht in gleichem, sondern in u m gekehrtem Sinne in die Anfangslage zuriick. Bei projektiver Auffassung zerlegt ein unpaarer Kegel, der sich nicht selbst durchsetzt, den R a u m nicht in zwei Gebiete, und seine Flache dient als Beispiel einer einseitigen Flache im Mobius'schen Sinne. Der Anschaulichkeit halber sind die Kegel mit moglichst vielen Symmetrie-Ebenen u n d -Axen ausgestattet, je eine in Nr. 1 und 2, je drei in Nr. 3 bis 7.