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Verlag von Martin Schilling in Halle a. S.

Eine Einteilung der ebenen K u r v e n dritter O r d n u n g , wie sie der Unterscheidung der Kurven zweiter Ordnung in Ellipse, Hyperbel und Parabel entspricht, hat zuerst Newton unternommen. Indem er die verschiedenen Gestalten ihrer Gleichung untersucht, wird er auf 72 verschiedene Kurvenarten gefuhrt, von denen er nebenbei bemerkt, dass sie sich aus funf besonderen Kurven, den „divergirenden Parabeln" durch Projektion ableiten lassen. Nach ihm griff Mobius die Aufgabe wieder auf; er verzichtet aber ganzlich auf eine genauere Einteilung der Kurven in Arten und will nur die wichtigsten Gattungen feststellen, aus denen durch Projektion alle iibrigen gewonnen werden konnen. U m keine einzelne vor den anderen gleichberechtigten auszuzeichnen, setzt er an die Stelle der K u r v e n die projicirenden Kegel und unterscheidet von diesen 7 Gattungen. 1st das Geschlecht der Kurven, also auch der projicirenden Kegel, gleich Null, so giebt es nur drei projektiv verschiedene Gestalten von Kegeln, wahrend es fur das Geschlecht Eins deren unendlich viele giebt. Aber unter den letzteren sind doch wesentliche Unterschiede in cler Gestalt vorhanden. So kann ein solcher Kegel entweder allein aus einem unpaaren Mantel oder aus einem solchen und einem hinzutretenden paaren Mantel bestehen, und m a n wird bei Benicksichtigung dieses Unterschiedes zwei Gattungen von Kegeln v o m Geschlechte Eins zu unterscheiden haben, die zusammen mit den drei Gattungen v o m Geschlechte Null den 5 Newton'schen Parabeln entsprechen. Aber unter den einmanteligen Kegeln v o m Geschlechte Eins giebt es noch einen ausgezeichneten, bei d e m namlich die drei Beriihrebenen der Wendekanten durch eine Gerade hindurchgehen, und dieser ist ein Zwischenglied zwischen solchen, bei denen der Kegelmantel sich entweder durch drei Dreikante oder durch drei Vierkante hindurchwindet, die durch jene drei Beriihrebenen und die Ebene der drei Wendekanten begrenzt werden. So k o m m t m a n mit Mobius zu d e n 7 Gattungen von Kegeln*), die durch die vorliegenden Fadenmodelle dargestellt werden. Diese Modelle sollen also auch hauptsachlich d e m Studium der K u r v e n dritter O r d n u n g dienen, insofern es diejenigen Gestalten

*) Fiir die geometrischen Untersuchungen, durch die Mobius diese Siebenzahl ableitet, benutzt er nicht die Kegel selbst, sondern die spharisclien Kurven, in denen sie durch eine zu ilmen koncentrische Kugel getroffen werden. Diese 7 Falle von spharischen Knrven sind in den beiden Modelleil der XVII. Serie Nr. 2, (Nr. 204 u. 205) auf Kugeln aufgezeichnet