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Serie XV.

N r . I — 6 . Im vier-diniensionalen R a u m e gibt es, entsprechend den fiinf regelmassigen Korpern des gewohnlichen Raumes, sechs regelmassige Gebilde, welche von regelmassigen Tetraedern, Hexaedern, Oktaedern oder Dodekaedern so begrenzt werden, dass in jeder Ecke gleichviele Kanten, Flachen und Korper, und in jeder Kante gleichviele Flachen und Korper zusammenstossen. Diese Gebilde sind: i) das Fiinfzell, bel grenzt von 5 Tetraedern, 2) das Achtzell, begrenzt von 8 Hexaedern, 3) das S e c h z e h n z e 11, begrenzt von 16 Tetraedern, 4)dasVierundzwanzigzell, begrenzt von 24 Oktaedern, 5)dasEinhundertzwanzigzell, begrenzt von 120 Dodekaedern, 6) das Sechshundertzell, begrenzt von 600 Tetraedern. — Obwohl diese Gebilde selbst unserer Anschauung unzuganglich ind, kann m a n dennochProjectionen derselben im drei-dimensionalen R a u m e construieren, welche alle an denGebilden befindlichenEcken, Kanten, Flachen und Korper in ganz analoger Weise zur Darstellung bringen, wie eine ebene Abbildung die Ecken, Kanten und Flachen eines regelmassigen Polyeders. Diese Projectionskorper enthalten gleichzeitig die Losung eines rein stereometiischen Problems, namlich: Ein Tetraeder, Hexaeder, Oktaeder, Dodekaeder so in Korper derselben Art zu zerlegen, dass in jeder Ecke gleichviele Kanten, Flachen und Korper, und in jeder Kante gleichviele Flachen und Korper zusammenstossen. Die Modelle bringen diese vier-dimensionalen Gebilde in Centralprojection zur Darstellung, wobei das Projections-Centrum so gedacht ist, dass kein Grenzkorper einen anderen durchdringt, und ein einziger als Ganzes alle iibrigen als seine Teile in sich schliesst. In alien Modellen sind die Korper durch ihre in Draht und Seide ausgefuhrten Kanten zur Darstellung gebarcht, und zwar so, dass im Allgemeinen die Grenzkanten jeder Polyeder-Schicht in Draht, dagegen die Verbindungskanten je zweier auf einander folgender Schichten in verschiedenfarbiger Seide ausgefuhrt sind. Die Modelle wurden zum ersten Male auf der 57. Versammlung deutscher Naturforscher und Arzte (1884) in Magdeburg, sodann (1886) in Darmstadt bei Gelegenheit des Jubilaums der dortigen Hochschule ausgestellt.

N r . 7. Entsprechend d e m zwei-dimensionalen Parallelogramm („ebenen zweiseitigen Prisma") und d e m drei-dimensionalen dreiseitigen Prisma gibt es im vier-dimensionalen R a u m e ein vier-dimensionales vierseitiges Prisma, begrenzt von zwei congruenten Tetraedern in parallelen drei-dimensionalen R a u m e n und von vier dreiseitigen Prismen. —